应用随机过程|第7章 随机微分方程

• 7.1 H 空间和均方收敛
• 7.2 均方分析
  • 均方连续性
  • 均方可导
  • 均方积分
• 7.3 Itô 随机积分
• 7.4 Itô 过程与 Itô 公式
• 7.5 Itô 随机微分方程
  • 常系数的线性随机微分方程
  • 简单的线性齐次随机微分方程
  • 一般的线性非齐次随机微分方程
• 7.6 解的存在性和唯一性问题
• 参考文献

7.1 H 空间和均方收敛

• 在许多情况下, 人们关心的是一个过程的一阶矩、二阶矩特征, 这是比较容易得到的随机变量的外部数字特征. 因此, 研究二阶矩存在的随机变量是一个重要的方向, 通过深入分析来探知这类随机变量有哪些共同的性质
• 为了对存在二阶矩的随机变量的全体进行统一考察, 引出 $H$ 空间的概念, 为研充这一类随机变量提供数学框架与几何直观解释

定义 H 空间

H 空间性质

$H$ 空间是线性空间, 即 $\forall~X_1,X_2\in H$ 及常数 $\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}$, 都有 \(\alpha_1X_1+\alpha_2X_2\in H\) 成立.

证明: 由 Cauchy-Schwartz 公式可得 \(\begin{aligned} E|\alpha_1X_1+\alpha_2X_2|^2&=E|\alpha_1^2X_1^2+2\alpha_1\alpha_2X_1X_2+\alpha_2^2X_2^2|\\ &\leqslant \alpha_1^2E|X_1|^2+2|\alpha_1\alpha_2|E|X_1X_2|+\alpha_2^2E|X_2|^2\\ &\leqslant\alpha_1^2E|X_1|^2+2|\alpha_1\alpha_2|\sqrt{E|X_1|^2E|X_2|^2}+\alpha_2^2E|X_2|^2\\ & < +\infty \end{aligned}\) 所以 $\alpha_1X_1+\alpha_2X_2\in H$.

定义 内积

$\forall~X,Y\in H$, 定义内积为 \(\langle X,Y\rangle=E(XY)\)

内积性质

• 共轭对称: $\langle Y,X\rangle=\langle X,Y\rangle$
• 齐次性: $\langle cX,Y\rangle=c\langle X,Y\rangle$, $c\in\mathbb{R}$
• 线性: $\langle X_1+X_2,Y\rangle=\langle X_1,Y\rangle+\langle X_2,Y\rangle$

• 非负性: $\langle X,X\rangle=E

  X

  ^2\geqslant0$, $\langle X,X\rangle=0\Leftrightarrow X=0$ (a.e.)

定义 正交

若 $\langle X,Y\rangle=0$, 则称 $X$ 与 $Y$ 正交, 记为 $X\perp Y$.

定义 范数

对 $\forall~X\in H$, 定义范数为 \(\|X\|=\sqrt{\langle X,X\rangle}=\sqrt{E|X|^2}\)

范数性质

• 非负性: $|X|\geqslant0$, $|X|=0\Leftrightarrow X=0$ (a.e.)

• 齐次性: $|cX|=

  c

  |X|$, $c\in\mathbb{R}$

• 三角不等式: $|X_1+X_2|\leqslant|X_1|+|X_2|$

• 不等式: $

  EX

  \leqslant E

  X

  \leqslant|X|$, 由凸函数性质和 Cauchy-Schwartz 公式可得

定义 距离

对 $\forall~X,Y\in H$, 定义距离为 \(\begin{aligned} d(X,Y) &=\|X-Y\|\\ &=\sqrt{\langle X-Y,X-Y\rangle}\\ &=\sqrt{E|X-Y|^2}\\ \end{aligned}\)

距离性质

• 非负性: $d(X,Y)\geqslant0$, $d(X,Y)=0\Leftrightarrow X=Y$ (a.e.)
• 对称性: $d(X,Y)=d(Y,X)$
• 三角不等式: $d(X,Z)\leqslant d(X,Y)+d(Y,Z)$

定义 极限与收敛

设 $X,X_n\in H,~n\geqslant1$, 若 \(\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}d(X_n,X) &=\lim_{n\to\infty}\|X_n-X\|\\ &=\lim_{n\to\infty}\sqrt{E|X_n-X|^2}\\ &=0\\ \end{aligned}\)

则称 $X$ 为序列 ${X_n,n\geqslant1}$ 的均方极限, 记作 \(\lim_{n\to\infty}X_n\overset{\mathrm{m.s.}}{=}X\) 其中 m.s. 表示 mean square, 简记为 \(\lim_{n\to\infty}X_n=X,~X_n\overset{\mathrm{m.s.}}{\rightarrow}X\) 即序列 ${X_n,n\geqslant1}$ 均方收敛于 $X$.

定义 Cauchy 序列

设 $X_n\in H,~n\geqslant1$, 若 \(\lim_{m,~n\to\infty}d(X_m,X_n)=0\) 则称 ${X_n,n\geqslant1}$ 是 Cauchy 序列.

命题 完备的赋范线性空间

设 ${X_n,n\geqslant1}$ 为 $H$ 空间中的 Cauchy 序列, 则必存在随机变量 $X\in H$ 使得 \(X_n\overset{\mathrm{m.s.}}{\rightarrow}X\)

命题 均方极限的运算法则

设 $X_n,X,Y_n,Y\in H$, 且 \(X_n\overset{\mathrm{m.s.}}{\rightarrow}X,~Y_n\overset{\mathrm{m.s.}}{\rightarrow}Y\) 则

• 极限与期望可交换: \(\lim_{n\to\infty}EX_n=EX=E\lim_{n\to\infty}X_n\) \(\lim_{n\to\infty}E|X_n|^2=E|X|^2\)
• 极限与内积可交换: \(\lim_{m,~n\to\infty}\langle X_m,Y_n\rangle=\langle X,Y\rangle\)
• 线性: \(\lim_{n\to\infty}(\alpha X_n+\beta Y_n)=\alpha X+\beta Y,~\forall~\alpha,\beta\in\mathbb{R}\)

命题 收敛的充要条件

\(\lim_{n\to\infty}X_n=X\Leftrightarrow\lim_{m,~n\to\infty}\langle X_m,X_n\rangle=C,~C\in\mathbb{R}\) 且此时 \(\lim_{m,~n\to\infty}\langle X_m,X_n\rangle=C=E|X|^2=\|X\|^2\)

命题 均方收敛与依概率、分布收敛的关系

若序列 ${X_n,n\geqslant1}$ 均方收敛 \(\lim_{n\to\infty}X_n\overset{\mathrm{m.s.}}{=}X\) 则

• 依概率收敛: \(\lim_{n\to\infty}X_n\overset{P}{=}X\)
• 依分布收敛: \(\lim_{n\to\infty}P(X_n\leqslant x)=P(X\leqslant x)\) 其中 $x\in\mathbb{R}$ 是 $P(X\leqslant x)$ 的连续点, 即 \(X_n\overset{d}{\to}X~(n\to\infty)\)

7.2 均方分析

• 在引出均方极限之后, 就可以对过程的均方分析特性展开深入的讨论. 类似于数学分析中的概念, 本节介绍均方分析, 亦称为随机微积分, 即均方连续性, 均方可导, 均方积分

定义 二阶矩过程

设 ${X_t:t\geqslant0}$ 为一随机过程, 若 \(\forall~t\geqslant0,X_t\in H\) 则称 ${X_t:t\geqslant0}$ 为二阶矩过程.

均方连续性

定义 均方连续

设二阶矩过程 ${X_t:t\in T}$ 对 $\forall~t_0\geqslant0$ 有 \(\lim_{t\to t_0}X_t\overset{\mathrm{m.s.}}{=}X_{t_0}\) 即 \(\quad\lim_{t\to t_0}X_t-X_{t_0}\overset{\mathrm{m.s.}}{=}0\) 则称 $X_t$ 在 $t_0$ 点均方连续.

若 $X_t$ 对 $\forall~t\in T$ 都均方连续, 则称 ${X_t:t\in T}$ 在 $T$ 上均方连续.

定理 均方连续的充要条件

记 \(R(s,t)=E(X_sX_t)=\langle X_s,X_t\rangle\)

则 ${X_t:t\geqslant0}$ 在 $t_0$ 点均方连续的充要条件为 $R(s,t)$ 在 $(t_0,t_0)$ 点连续.

推论 全定义域均方连续的充要条件

${X_t:t\in T}$ 在 $T$ 上均方连续的充要条件为 $R(s,t)$ 在 ${(t,t):t\in T}$ 上二元连续.

推论 全区域均方连续与对角线均方连续等价

若 $R(s,t)$ 在 ${(t,t):t\in T}$ 上连续, 则它在 $T\times T$ 上连续. 即对协方差 $R(s,t)$ 而言, 它在整个区域 $T\times T$ 上连续与它在 $T\times T$ 的对角线上连续是等价的.

均方可导

定义 均方导数与均方微分

称二阶矩过程 ${X_t:t\in T}$ 在 $t_0\in T$ 点上均方可导, 若 \(\lim_{h\to0}\frac{X_{t_0+h}-X_{t_0}}{h}\overset{\mathrm{m.s.}}{=}X_{t_0}'\) 存在, 此时称 $X_{t_0}’$ 与 $X_{t_0}’\mathrm{d}t$ 分别为 $X_t$ 在 $t_0$ 点的均方导数与均方微分.

若 $X_t$ 对 $\forall~t\in T$ 均方可导, 则称 ${X_t:t\in T}$ 在 $T$ 上是均方可导的, 此时记 \(\lim_{h\to0}\frac{X_{t+h}-X_{t}}{h}\overset{\mathrm{m.s.}}{=}X_{t}'\) $X_{t}’$ 与 $X_{t}’\mathrm{d}t$ 分别称为 $X_t$ 在 $T$ 上的均方导数与均方微分.

定理 均方可导判定准则

二阶矩过程 ${X_t:t\in T}$ 在 $t$ 点均方可导的充要条件是 \(\lim_{h,~l\to0}\frac{R(t+h,t+l)-R(t+h,t)-R(t,t+l)+R(t,t)}{hl}\) 存在, 即要求函数 $R(s,t)$ 在 $(t,t)$ 点广义二次可微.

定理 均方可导的性质

若 ${X_t:t\in T},{X_{1,t},X_{2,t}:t\in T}$ 在 $T$ 上均方可导, $f(t)$ 为一般函数且在 $T$ 上可导, 则

• 可导必连续: $X_t,X_{1,t},X_{2,t}$ 在 $T$ 上均方连续

• 线性: \((c_1X_{1,t}+c_2X_{2,t})'=c_1X_{1,t}'+c_2X_{2,t}',~\forall~c_1,c_2\in\mathbb{R}\)

• 乘积求导公式: \([f(t)X_t]'=f'(t)X_t+f(t)X_t'\)

• 期望与求导换序: \(EX_t'=(EX_t)'\)

• 内积与求导换序: \(\langle X_s',X_t'\rangle=\frac{\partial^2R(s,t)}{\partial s\partial t}\)

均方积分

定义 Riemann 均方积分

设 ${X_t:t\in T}$ 为二阶矩过程, $f(t),~t\in T$ 为定义在 $T$ 上的函数, $[a,b]\in T$, 任取 \(a=t_0 < t_1 < \cdots < t_n=b\)

$\Delta t_k=t_k-t_{k-1}$, 令 \(\lambda=\max_{1\leqslant k\leqslant n}\Delta t_k\) 任取 $u_k\in[t_{k-1},t_k]$. 若 \(\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^nf(u_k)X_{u_k}\Delta t_k\overset{\mathrm{m.s.}}{=}\int_a^bf(t)X_t\mathrm{d}t\) 均方极限存在, 则称 \(\int_a^bf(t)X_t\mathrm{d}t\) 为 $f(t)X_t$ 在 $[a,b]$ 上的 Riemann 均方积分.

若 \(\lim_{m,~n\to\infty}\int_a^bf(t)X_t\mathrm{d}t\overset{\mathrm{m.s.}}{=}\int_{-\infty}^\infty f(t)X_t\mathrm{d}t\) 均方极限存在, 则称上述极限为 $f(t)X_t$ 在 $(-\infty,\infty)$ 上的 Riemann 均方积分.

定理 均方可积的充分条件

若 \(\int_a^b\int_a^bf(s)f(t)R(s,t)\mathrm{d}s\mathrm{d}t\) 存在, 则 \(\int_a^bf(t)X_t\mathrm{d}t\) 也存在.

推论 无穷区间均方可积的充分条件

若 \(\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(s)f(t)R(s,t)\mathrm{d}s\mathrm{d}t\) 存在, 则 \(\int_{-\infty}^\infty f(t)X_t\mathrm{d}t\) 也存在.

定理 均方积分的性质

设 $f(t)X_t,~f_k(t)X_{k,t}$ 在 $[a,b]$ 上均方可积, 则

• 期望与积分换序: \(E\int_a^bf(t)X_t\mathrm{d}t=\int_a^bf(t)EX_t\mathrm{d}t\) \(E\left(\int_a^bf(s)X_s\mathrm{d}s\int_a^bf(t)X_t\mathrm{d}t\right)=\int_a^b\int_a^bf(s)f(t)R(s,t)\mathrm{d}s\mathrm{d}t\)
• 求和与积分换序, 线性: \(\int_a^b\sum_kc_kf_k(t)X_{k,t}\mathrm{d}t=\sum_k\int_a^bc_kf_k(t)X_{k,t}\mathrm{d}t,~\forall~c_k\in\mathbb{R}\)
• 分段积分: \(\int_a^cf(t)X_t\mathrm{d}t+\int_c^bf(t)X_t\mathrm{d}t=\int_a^bf(t)X_t\mathrm{d}t,~\forall~c\in[a,b]\)

定理 均方连续与均方积分的关系

设 $X_t$ 在 $[a,b]$ 上均方连续, 则

• 连续必可积: $X_t$ 在 $[a,b]$ 上均方可积, 即 \(\displaystyle\int_a^bf(t)X_t\mathrm{d}t\) 存在
• 积分不等式: \(\left\|\int_a^bf(t)X_t\mathrm{d}t\right\|\leqslant\int_a^bf(s)\|X_s\|\mathrm{d}s\)
• 变上限积分均方连续可导: 记 \(Y_t=\int_a^tf(u)X_u\mathrm{d}u\) 则 ${Y_t:t\geqslant0}$ 在 $[a,b]$ 上均方连续, 均方可导且 \(Y_t'=X_t\)

推论 均方积分 Newton-Leibniz 公式

设 $X_t’$ 在 $[a,b]$ 上均方连续, 则 \(X_t-X_a=\int_a^tX_s'\mathrm{d}s,~\forall~t\in[a,b]\)

7.3 Itô 随机积分

定义 $\sigma$ 域流

若可测空间 $(\Omega,\mathcal{F})$ 上子 $\sigma$ 域族 ${\mathcal{F}_t:t\geqslant0}$ 使得 $\forall~0\leqslant s < t < \infty$, 有 \(\mathcal{F}_s\subset\mathcal{F}_t\subset\mathcal{F}\)

则称 ${\mathcal{F}_t:t\geqslant0}$ 是 $(\Omega,\mathcal{F})$ 上的 $\sigma$ 域流.

注释

• 对给定的随机过程 $X={X_t:t\geqslant0}$, 其 $\sigma$ 域流为 \(\begin{aligned} \mathcal{F}_t^X &=\sigma(X_s:0\leqslant s\leqslant t)\\ &=\sigma\left(\bigcup_{0\leqslant s\leqslant t}X_s^{-1}(\mathcal{B}_{\mathbb{R}})\right)\\ \end{aligned}\) 其中 \(X_s^{-1}(\mathcal{B}_{\mathbb{R}})=\Big\{\{\omega\in\Omega:X_s(\omega)\in A\}|A\in\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\Big\}\subset\mathcal{F}\)

• $\sigma$ 域流可看作信息流, 即 $t$ 时刻前随机过程的全部信息.

定义 关于 $\sigma$ 域流适应

若可测空间 $(\Omega,\mathcal{F})$ 上随机过程 $X={X_t:t\geqslant0}$, $\sigma$ 域流 ${\mathcal{F}_t:t\geqslant0}$ 使得 $\forall~t\geqslant0$, $X_t$ 关于 $\mathcal{F}_t$ 可测, 即 $\forall~x\in\mathbb{R}$, \(\{\omega\in\Omega:X_t(\omega)\in(-\infty,x]\}\subset\mathcal{F}_t\) 记为 $X_t\in\mathcal{F}_t$, 则称 $X$ 是 ${\mathcal{F}_t}$ 适应的.

定义 布朗运动

若概率空间 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ 上连续轨道适应过程 \(\{B_t,~\mathcal{F}_t:t\geqslant0\}\) 满足

• $B_0=0$
• $\forall~0\leqslant s < t$, $B_t-B_s$ 与 $\mathcal{F}_s$ 独立, 即 $\forall~A\in\mathcal{F}_s$, $\pmb{1}_A$ 与 $B_t-B_s$ 独立, 且 \(B_t-B_s\sim N(0,t-s)\)

则称 $B={B_t:t\geqslant0}$ 为 ${\mathcal{F}_t}$ 布朗运动.

注释

定义 乘积空间与乘积 $\sigma$ 域流

乘积空间定义为 \([0,T]\times\Omega=\{(t,\omega):0\leqslant t\leqslant T,~\omega\in\Omega\}\) 乘积 $\sigma$ 域流定义为 \(\mathcal{B}_{[0,T]}\times\mathcal{F}_t=\sigma(\{B\times A:B\in\mathcal{B}_{[0,T]},~A\in\mathcal{F}_t\})\)

事实上, 乘积 $\sigma$ 域流为包含所有可测矩形的 $\sigma$ 域流.

定义 循序可测过程

若 ${\mathcal{F}_t:t\geqslant0}$ 是 $(\Omega,\mathcal{F})$ 上 $\sigma$ 域流, $(\Omega,\mathcal{F})$ 上随机过程 $X={X_t:t\geqslant0}$ 使得 $\forall~t>0$, \(X:([0,t]\times\Omega,~\mathcal{B}_{[0,T]}\times\mathcal{F}_t)\to(\mathbb{R},~\mathcal{B}_{\mathbb{R}})\) 可测, 则称 $X$ 是 ${\mathcal{F}_t}$ 循序可测过程.

定义 平方可积循序过程空间

$\forall~T>0$, 设 $g(t,\omega)$ 为 $(\Omega,\mathcal{F})$ 上循序可测过程, 记 \(\begin{aligned} \mathcal{L}_T^2 &\triangleq\bigg\{ g(t,\omega): \displaystyle\int_0^TE[g^2(t,\omega)]\mathrm{d}t < \infty\bigg\}\\ &=L^2([0,T]\times\Omega,~\mathcal{P}_g,~\lambda\times P) \end{aligned}\) 其中 \(\lambda\times P(B\times A)=\lambda(B)\times P(A)\) $\lambda$ 为 Lebesgue 测度, 定义里的积分也可写为 \(\int_0^TE[g^2(t,\omega)]\mathrm{d}t=\int_\Omega\int_0^Tg^2(t,\omega)\mathrm{d}t\mathrm{d}P\) 记 \(\begin{aligned} \mathcal{L}_2 &\triangleq\bigcap\limits_{T>0}\mathcal{L}_T^2\\ &=\bigg\{g(t,\omega): \forall~T>0, ~\int_0^TE[g^2(t,\omega)]\mathrm{d}t < \infty\bigg\}\\ \end{aligned}\)

定义 准范数

$\forall~g\in\mathcal{L}_2$, 定义准范数 \(\|g\|_2\triangleq\frac{\|g\|_{2,n}\wedge1}{2^n}\) 其中 \(\|g\|_{2,n}^2=\int_0^nE[g^2(t,\omega)]\mathrm{d}t\)

定义 L0

定义 \(\begin{aligned} \mathcal{L}_0\triangleq\Bigg\{g(t,\omega) &=g_0(t,\omega)\pmb{1}_{\{0\}}(t)+\sum_{k=0}^\infty g_k(t,\omega)\pmb{1}_{(t_k,t_{k-1}]}(t)\\ &:0=t_0 < t_1 < \cdots < t_n\uparrow\infty,\\ &~~~~g_0\in\mathcal{F}_0,~g_k\in\mathcal{F}_{t_k},~Eg_0^2 < \infty,~Eg_k^2 < \infty\Bigg\}\\ \end{aligned}\) $\mathcal{L}_0$ 在 $|\cdot|_2$ 下是 $\mathcal{L}_2$ 线性稠密子集.

定义 简单过程的随机积分

设 $B={B_t,\mathcal{F}_t:t\geqslant0}$ 为布朗运动, $\forall~g\in\mathcal{L}_0$, \(g(t,\omega)=g_0(t,\omega)\pmb{1}_{\{0\}}(t)+\sum_{k=0}^\infty g_k(t,\omega)\pmb{1}_{(t_k,t_{k-1}]}(t)\) 定义 Itô 随机积分为 \(\begin{aligned} I_g(t) &\triangleq\int_0^tg_s\mathrm{d}B_s\\ &=\sum_{k=0}^\infty g_k(B_{t_{k+1}\wedge t}-B_{t_{k}\wedge t})\\ \end{aligned}\)

给定 $t>0$, 不妨将 $t$ 加入序列 ${t_k}$, 则 \(\forall~ 0=t_0 < t_1 < \cdots < t_n=t\) $\forall~ 0\leqslant s\leqslant t$, 有 \(g(s,\omega)=g_0(s,\omega)\pmb{1}_{\{0\}}(s)+\sum_{k=0}^{n-1} g_k(s,\omega)\pmb{1}_{(t_k,t_{k-1}]}(s)\) 则 Itô 随机积分 \(\begin{aligned} I_g(t) &=\int_0^tg_s\mathrm{d}B_s\\ &=\sum_{k=0}^{n-1}g_k(B_{t_{k+1}}-B_{t_k})\\ \end{aligned}\)

Itô 积分性质-L0

设 $g\in\mathcal{L}_0$, 则有

• 线性: $\forall~g_1,g_2\in\mathcal{L}_0,~\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}$, 有 \(\int_0^t(\alpha_1g_{1,s}+\alpha_2g_{2,s})\mathrm{d}B_s=\alpha_1\int_0^tg_{1,s}\mathrm{d}B_s+\alpha_2\int_0^tg_{2,s}\mathrm{d}B_s\)
• 期望: $EI_g(t)=0$
• 二阶矩: \(EI_g^2(t)=\int_0^tEg_s^2\mathrm{d}s\)
• 鞅: \(\left\{I_g(t)\triangleq\int_0^tg_s\mathrm{d}B_s:t\geqslant0\right\}\) 关于 ${\mathcal{F}_t}$ 是鞅

定义 L2 随机积分

$\forall~g\in\mathcal{L}2$, 因 $\mathcal{L}_0$ 在 $|\cdot|_2$ 下是 $\mathcal{L}_2$ 线性稠密子集, 则 $\exists~g_n\in\mathcal{L}_0$, $n\geqslant1$, 使得 \(\lim_{n\to\infty}\|g_n-g\|_2=0\) 从而 \(\lim_{m,~n\to\infty}\|g_n-g_m\|_2=0\) 而 $g_n-g_m\in\mathcal{L}_0$, \(\begin{aligned} \|g_n-g_m\|_{2,t}^2&=\int_0^tE|g_{n,u}-g_{m,u}|^2\mathrm{d}u\\ &=E\left[\int_0^t(g_{n,u}-g_{m,u})\mathrm{d}B_u\right]^2\\ &=E\left(\int_0^tg_{n,u}\mathrm{d}B_u-\int_0^tg_{m,u}\mathrm{d}B_u\right)^2 \end{aligned}\) 可见 $\forall~t\geqslant0$, ${I{g_n}(t):n\geqslant0}$ 是 $H=L_2(\Omega,\mathcal{F},P)$ 中的 Cauchy 列, 故 $\exists~I_g(t)$ 使得 \(\begin{aligned} I_g(t) &=L_2\text{-}\lim_{n\to\infty}I_{g_n}(t)\\ &=L_2\text{-}\lim_{n\to\infty}\int_0^tg_{n,u}\mathrm{d}B_u\\ \end{aligned}\)

Itô 积分性质-L2

设 $g\in\mathcal{L}_2$, 则有

• 线性: $\forall~g_1,g_2\in\mathcal{L}_2,~\alpha_1,\alpha_2\in\mathbb{R}$, 有 \(\int_0^t(\alpha_1g_{1,s}+\alpha_2g_{2,s})\mathrm{d}B_s=\alpha_1\int_0^tg_{1,s}\mathrm{d}B_s+\alpha_2\int_0^tg_{2,s}\mathrm{d}B_s\)
• 期望: $EI_g(t)=0$
• 二阶矩: \(EI_g^2(t)=\int_0^tEg_s^2\mathrm{d}s\)
• 内积: \(\begin{aligned} \langle I_{g_1}(t),I_{g_2}(t)\rangle &=E\left[\int_0^tg_{1,u}\mathrm{d}B_u\int_0^tg_{2,u}\mathrm{d}B_u\right]\\ &=\int_0^t E(g_{1,u}g_{2,u})\mathrm{d}u\\ \end{aligned}\) \(\begin{aligned} \langle I_{g}(s),I_{g}(t)\rangle &=E\left[\int_0^sg_{u}\mathrm{d}B_u\int_0^tg_{u}\mathrm{d}B_u\right]\\ &=\int_0^s Eg_u^2\mathrm{d}u,~\forall~0\leqslant s\leqslant t\\ \end{aligned}\)
• 分段积分: \(\int_0^tg_u\mathrm{d}B_u=\int_0^sg_u\mathrm{d}B_u+\int_s^tg_u\mathrm{d}B_u,~\forall~s\in[0,t]\)
• 鞅性: \(\left\{I_g(t)\triangleq\int_0^tg_s\mathrm{d}B_s:t\geqslant0\right\}\) 关于 ${\mathcal{F}_t}$ 是鞅
• Doob 极大值不等式: 记 \(X_t=\int_0^tg_u\mathrm{d}B_u\) 则 $\forall~t\geqslant0$, $\lambda>0$, $p\geqslant1$ 有 \(P\left(\max_{0\leqslant u\leqslant t}|X_u|>\lambda\right)\leqslant\frac{E|X_t|^p}{\lambda^p}\)

定理 鞅表示定理

若 ${X_t:t\geqslant0}$ 关于 ${\mathcal{F}_t}$ 是鞅, $X_t\in H$, 则必存在唯一适应过程 \(\{g_t:t\geqslant0\}\in\mathcal{L}_T^2\) 满足 $0\leqslant t\leqslant T$, \(X_t-X_0=\int_0^tg_s\mathrm{d}B_s\)

例题 均方连续循序可测过程的 Itô 积分

设 ${\phi_t:t\geqslant0}$ 均方连续, 关于 ${\mathcal{F}_t}$ 适应且循序可测, 定义 \(\begin{aligned} \phi_t^{(n)} &\triangleq\sum_{k=0}^{n-1}\phi_{t_k^{(n)}}\pmb{1}_{(t_k^{(n)},t_{k+1}^{(n)}]}(t)+\phi_0\pmb{1}_{\{0\}}(t)\\ &\overset{\mathrm{\mathcal{L}_2}}{\to}\phi_t~(n\to\infty)\\ \end{aligned}\) 其中 \(\left\{t_k^{(n)}:0\leqslant k\leqslant n\right\}\) 是 $[0,t]$ 的分割, 令 \(\lambda_n\triangleq\max_{0\leqslant k\leqslant n-1}\left\{t_{k+1}^{(n)}-t_{k}^{(n)}\right\}\to0~(n\to\infty)\) 从而 \(\int_0^t\phi_u\mathrm{d}B_u=L_2\text{-}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}\phi_{t_k^{(n)}}\left(B_{t_{k+1}^{(n)}}-B_{t_{k}^{(n)}}\right)\) 上式也可以理解为 Itô 积分的定义.

7.4 Itô 过程与 Itô 公式

定义 Itô 过程

设随机过程 $X={X_t:t\geqslant0}$ 满足如下的 Itô 随机积分方程: 对 \(\forall~0\leqslant t_0 < t < T\) 有 \(X_t-X_{t_0}=\int_{t_0}^tb(s,X_s)\mathrm{d}s+\int_{t_0}^t\sigma(s,X_s)\mathrm{d}B_s\) 或等价地写作 Itô 随机微分方程 \(\mathrm{d}X_t=b(t,X_t)\mathrm{d}t+\sigma(t,X_t)\mathrm{d}B_t\) 其中 $b(t,X_t)$, $\sigma(t,X_t)$ 是二元连续函数, 且对 $\forall~x\in\mathbb{R}$, \(b(t,X_t)\in\mathcal{L}_T^1,~ \sigma(t,X_t)\in\mathcal{L}_T^2\) 则称 $X$ 为 Itô 过程.

注释 Itô 过程与扩散过程

Itô 过程在 $b(t,X_t)$, $\sigma(t,X_t)$ 具有比较好的性质的情况下也是扩散过程, 其中 $b(t,X_t)$ 称为漂移系数, $\sigma(t,X_t)$ 称为扩散系数.

定理 Itô 公式

设随机过程 $X={X_t:t\geqslant0}$ 是 Itô 过程, $y=f(t,x)$ 是二元函数, 且具有连续偏导数 \(\frac{\partial f}{\partial t},~\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\) 令 $Y_t\triangleq f(t,X_t)$, 则过程 $Y={Y_t:t\geqslant0}$ 也是随机过程, 且对 $\forall~0\leqslant t_0 < t$ 满足如下的 Itô 积分方程 \(Y_t-Y_{t_0}=\int_{t_0}^t\left[\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}b+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\sigma^2\right](s,X_s)\mathrm{d}s+\int_{t_0}^t\left(\frac{\partial f}{\partial x}\sigma\right)(s,X_s)\mathrm{d}B_s\) 或等价的 Itô 微分方程 \(\mathrm{d}Y_t=\left[\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}b+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\sigma^2\right](t,X_t)\mathrm{d}t+\left[\frac{\partial f}{\partial x}\sigma\right](t,X_t)\mathrm{d}B_t~~(\text{a.e.})\)

定理 重对数律

粗略地说, \(B_{s+\Delta t}-B_s\sim\sqrt{\Delta t}\) 即 $\mathrm{d}B_t\sim\sqrt{\mathrm{d}t}$.

Itô 公式理解

由 Itô 过程定义可知

令 $Y_t\triangleq f(t,X_t)$, 欲求其关于 $\mathrm{d}t,~\mathrm{d}B_t$ 的全微分, 由 $\mathrm{d}B_t\sim\sqrt{\mathrm{d}t}$ 可知 $f(t,x)$ 对 $x$ 的偏导需要展开到二阶来获取那个与 $\mathrm{d}t$ 同阶的 $\mathrm{d}B_t^2$ 项.

简记 $f=f(t,X_t)$, 则 Itô 公式微分形式可以粗略理解为

例题 使用 Itô 公式求解 Itô 积分

求证 \(\int_0^tB_s^2\mathrm{d}B_s=\frac{B_t^3}{3}-\int_0^tB_s\mathrm{d}s\)

证明: 与该积分方程对应的微分方程为 \(B_t^2\mathrm{d}B_t=\mathrm{d}\left(\frac{B_t^3}{3}\right)-B_t\mathrm{d}t\)

即 \(\mathrm{d}\left(\frac{B_t^3}{3}\right)=B_t\mathrm{d}t+B_t^2\mathrm{d}B_t\)

对比上式与 Itô 公式可猜测函数 $f(t,x)=x^3/3$, 下面证明之.

布朗运动本身即是 Itô 过程, 满足 Itô 微分方程 \(\mathrm{d}B_t=0\times\mathrm{d}t+1\times\mathrm{d}B_t\)

令 \(f(t,x)=\frac{x^3}{3}\) 则 \(Y_t=f(t,B_t)=\frac{B_t^3}{3}\) 所以由 Itô 公式可得 \(\begin{aligned} \mathrm{d}Y_t&=\mathrm{d}\left(\frac{B_t^3}{3}\right)\\ &=\left(0+B_t^2\cdot0+\frac{1}{2}2B_t\cdot1^2\right)\mathrm{d}t+(B_t^2\cdot1)\mathrm{d}B_t\\ &=B_t\mathrm{d}t+B_t^2\mathrm{d}B_t\\ \end{aligned}\)

对上式从 $0$ 到 $t$ 积分可得 \(\frac{B_t^3}{3}=\int_0^tB_s\mathrm{d}s+\int_0^tB_s^2\mathrm{d}B_s\)

例题 求解布朗运动自身的 $n$ 次 Itô 积分

$\forall~n\geqslant1$, 求下面积分 \(\int_0^tB_s^n\mathrm{d}B_s\)

解: 布朗运动本身即是 Itô 过程, 满足 Itô 微分方程 \(\mathrm{d}B_t=0\times\mathrm{d}t+1\times\mathrm{d}B_t\)

令 \(f(t,x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}\) 则 \(Y_t=f(t,B_t)=\frac{B_t^{n+1}}{n+1}\) 所以由 Itô 公式可得 \(\begin{aligned} \mathrm{d}Y_t&=\mathrm{d}\left(\frac{B_t^{n+1}}{n+1}\right)\\ &=\left(0+B_t^n\cdot0+\frac{1}{2}nB_t^{n-1}\cdot1^2\right)\mathrm{d}t+(B_t^n\cdot1)\mathrm{d}B_t\\ &=\frac{n}{2}B_t^{n-1}\mathrm{d}t+B_t^n\mathrm{d}B_t\\ \end{aligned}\)

对上式从 $0$ 到 $t$ 积分可得 \(\frac{B_t^{n+1}}{n+1}=\int_0^t\frac{n}{2}B_s^{n-1}\mathrm{d}s+\int_0^tB_s^n\mathrm{d}B_s\)

即 \(\int_0^tB_s^n\mathrm{d}B_s=\frac{B_t^{n+1}}{n+1}-\int_0^t\frac{n}{2}B_s^{n-1}\mathrm{d}s\)

例题 求随机过程满足的 Itô 微分方程

利用 Itô 公式, 求以下随机过程满足的 Itô 微分方程: \(\begin{aligned} X_t&=\exp(ut+\alpha B_t)\\ Y_t&=\exp(t/2)\cos B_t\\ \end{aligned}\)

解: 令 \(\begin{aligned} f(t,x)&=\exp(ut+\alpha x)\\ g(t,x)&=\exp(t/2)\cos x\\ \end{aligned}\) 它们的相应偏导数为 \(\frac{\partial f}{\partial t}=u\exp(ut+\alpha x),~\frac{\partial f}{\partial x}=\alpha\exp(ut+\alpha x),\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\alpha^2\exp(ut+\alpha x)\)

则由 Itô 公式可知 \(\begin{aligned} \mathrm{d}X_t&=\left[u\exp(ut+\alpha B_t)+0+\frac{1}{2}\alpha^2\exp(ut+\alpha B_t)\right]\mathrm{d}t+\alpha\exp(ut+\alpha B_t)\mathrm{d}B_t\\ &=\exp(ut+\alpha B_t)\left[\left(u+\frac{1}{2}\alpha^2\right)\mathrm{d}t+\alpha\mathrm{d}B_t\right]\\ &=\left(u+\frac{1}{2}\alpha^2\right)X_t\mathrm{d}t+\alpha X_t\mathrm{d}B_t \end{aligned}\)

定义 多元 Itô 过程

设随机过程 \(\pmb{X}=\{\pmb{X}_t=(X_{1,t},X_{2,t},\cdots,X_{n,t}):t\geqslant0\}\) 满足如下的多元 Itô 随机微分方程 \(\mathrm{d}\pmb{X}_t=\pmb{b}(t,\pmb{X}_t)\mathrm{d}t+\pmb{\Sigma}(t,\pmb{X}_t)\mathrm{d}\pmb{B}_t\) 其中 \(\pmb{b}(t,\pmb{X}_t)=[b_1(t,\pmb{X}_t),b_2(t,\pmb{X}_t),\cdots,b_n(t,\pmb{X}_t)]^T\) \(\pmb{\Sigma}(t,\pmb{X}_t)=[\sigma_{ij}(t,\pmb{X}_t)]_{n\times m}\) 且 \(b_i(t,\pmb{X}_t)\in\mathcal{L}_T^1\) \(\sigma_{ij}(t,\pmb{X}_t)\in\mathcal{L}_T^2\) \(\pmb{B}_t=\left[B_{1,t},B_{2,t},\cdots,B_{m,t}\right]^T\) 则称 $X$ 为 $n$ 维 Itô 过程.

定理 多元 Itô 公式

设随机过程 $\pmb{X}={\pmb{X}_t:t\geqslant0}$ 是 $n$ 维 Itô 过程, \(\pmb{f}(t,\pmb{x})=[f_1(t,\pmb{x}),f_2(t,\pmb{x}),\cdots,f_d(t,\pmb{x})]^T\) 是 $[0,\infty)\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^d$ 上的函数, 其中 \(\pmb{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 且具有连续偏导数 \(\frac{\partial f_k}{\partial t},~\frac{\partial f_k}{\partial x_i},\frac{\partial^2 f_k}{\partial x_i\partial x_j}\) 令 $\pmb{Y}_t\triangleq \pmb{f}(t,\pmb{X}_t)$, 则过程 $\pmb{Y}={\pmb{Y}_t:t\geqslant0}$ 是 $d$ 维 Itô 过程, 且对 $\forall~1\leqslant k\leqslant d$ 满足如下的 多元 Itô 微分方程 \(\mathrm{d}\pmb{Y}_{k,t}=\left[\frac{\partial f_k}{\partial t}+\frac{\partial f_k}{\partial x_i}b_i+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 f_k}{\partial x_i\partial x_j}\sigma_{il}\sigma_{jl}\right](t,\pmb{X}_t)\mathrm{d}t+\left[\frac{\partial f_k}{\partial x_i}\sigma_{il}\right](t,\pmb{X}_t)\mathrm{d}B_{l,t}.\) 需要指出的是上式使用了 Einstein 求和约定, 即重复指标自动求和.

7.5 Itô 随机微分方程

常系数的线性随机微分方程

例题 Ornstein-Uhlenbeck 方程

设 ${X_t:t\geqslant0}$ 满足 Ornstein-Uhlenbeck 方程 \(\mathrm{d}X_t=-b X_t\mathrm{d}t+\sigma\mathrm{d}B_t,~b,\sigma\in\mathbb{R},\)

求解 $X_t$.

解: 方程两边同乘积分因子 $\mathrm{e}^{b t}$ 可得 \(\mathrm{e}^{b t}\mathrm{d}X_t+b\mathrm{e}^{b t} X_t\mathrm{d}t=\sigma\mathrm{e}^{b t}\mathrm{d}B_t\)

令 $f(t,x)=\mathrm{e}^{b t}x$, 由 Itô 公式可知 \(\begin{aligned} \mathrm{d}(\mathrm{e}^{b t}X_t) &=b\mathrm{e}^{b t} X_t\mathrm{d}t+\mathrm{e}^{b t}\mathrm{d}X_t\\ &=\sigma\mathrm{e}^{b t}\mathrm{d}B_t \end{aligned}\)

两边从 $t_0$ 到 $t$ 积分可得 \(\mathrm{e}^{b t}X_t-\mathrm{e}^{b t_0}X_{t_0}=\int_{t_0}^t\sigma\mathrm{e}^{b s}\mathrm{d}B_s\)

于是 \(X_t=\mathrm{e}^{-b (t-t_0)}X_{t_0}+\int_{t_0}^t\sigma\mathrm{e}^{-b (t-s)}\mathrm{d}B_s\)

简单的线性齐次随机微分方程

例题 Black-Scholes 模型

设 $X_t$ 为 $t$ 时刻某种股票的价格, 在某些条件下它满足以下随机微分方程 \(\mathrm{d}X_t=b X_t\mathrm{d}t+\sigma X_t\mathrm{d}B_t,~b,\sigma\in\mathbb{R},\)

求解 $X_t$.

解: 方程两边同除 $X_t$ 可得 \(\frac{\mathrm{d}X_t}{X_t}=b \mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}B_t\)

遂令 $f(t,x)=\ln x$, 则 $Y_t=\ln X_t$, 由 Itô 公式可知 \(\begin{aligned} \mathrm{d}Y_t &=\mathrm{d}(\ln X_t)\\ &=\left(0+\frac{1}{X_t}b X_t-\frac{1}{2}\frac{1}{X_t^2}\sigma^2 X_t^2\right)\mathrm{d}t+\frac{1}{X_t}\sigma X_t\mathrm{d}B_t\\ &=\left(b-\frac{1}{2}\sigma^2\right)\mathrm{d}t+\sigma\mathrm{d}B_t\\ \end{aligned}\)

两边从 $0$ 到 $t$ 积分可得 \(\begin{aligned} \ln X_t-\ln X_0 &=\int_{0}^t\left(b-\frac{1}{2}\sigma^2\right)\mathrm{d}t+\int_{0}^t\sigma\mathrm{d}B_t\\ &=\left(b-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t+\sigma B_t\\ \end{aligned}\)

于是 \(X_t=X_0\exp\left[\left(b-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t+\sigma B_t\right]\)

一般的线性非齐次随机微分方程

设 ${X_t:t\geqslant0}$ 满足 \(\mathrm{d}X_t=[b_1(t) X_t+b_2(t)]\mathrm{d}t+[\sigma_1(t) X_t+\sigma_2(t)]\mathrm{d}B_t\)

求解 $X_t$.

解: 在求解一般线性非齐次随机微分方程之前, 先求解一类稍简单的狭义随机微分方程. 与线性常微分方程求解方法类似, 由简入繁, 先求齐次解, 再求非齐次解, 最大的不同在于随机微分方程中复合函数的求导法则由 Itô 公式决定, 多了二阶偏导项, 作微分运算时尤其需要谨慎.

• 狭义随机微分方程

先求解以下简单齐次线性随机微分方程 \(\mathrm{d}X_t=b_1(t) X_t\mathrm{d}t\)

由 Black-Scholes 模型求解结果易得 \(X_t=X_{t_0}\exp\left(\int_{t_0}^tb_1(t)\mathrm{d}t\right)\)

再求解以下狭义随机微分方程 \(\mathrm{d}X_t=[b_1(t) X_t+b_2(t)]\mathrm{d}t+\sigma_2(t)\mathrm{d}B_t\)

移项变形可得 \(\mathrm{d}X_t-b_1(t) X_t\mathrm{d}t=b_2(t)\mathrm{d}t+\sigma_2(t)\mathrm{d}B_t\)

由齐次解推测, 若两边同乘以下积分因子 \(\rho_{t_0}^{-1}(t)=\exp\left(-\int_{t_0}^tb_1(t)\mathrm{d}t\right)\)

则可以通过 Itô 公式解上述微分方程, 即 \(\rho_{t_0}^{-1}(t)[\mathrm{d}X_t-b_1(t) X_t]\mathrm{d}t=\rho_{t_0}^{-1}(t)[b_2(t)\mathrm{d}t+\sigma_2(t)\mathrm{d}B_t]\)

令 $f(t,x)=\rho_{t_0}^{-1}(t)x$, 则由 Itô 公式可知 \(\begin{aligned} \mathrm{d}\left[\rho_{t_0}^{-1}(t)X_t\right] &=\rho_{t_0}^{-1}(t)[\mathrm{d}X_t-b_1(t) X_t]\mathrm{d}t\\ &=\rho_{t_0}^{-1}(t)[b_2(t)\mathrm{d}t+\sigma_2(t)\mathrm{d}B_t]\\ \end{aligned}\)

两边从 $t_0$ 到 $t$ 积分可得 \(\begin{aligned} &\rho_{t_0}^{-1}(t)X_t-\rho_{t_0}^{-1}(t_0)X_{t_0}\\ =&\rho_{t_0}^{-1}(t)X_t-X_{t_0}\\ =&\int_{t_0}^t\rho_{t_0}^{-1}(s)b_2(s)\mathrm{d}s+\int_{t_0}^t\rho_{t_0}^{-1}(s)\sigma_2(s)\mathrm{d}B_s\\ \end{aligned}\)

故 \(X_t=\rho_{t_0}(t)\left[X_{t_0}+\int_{t_0}^t\rho_{t_0}^{-1}(s)b_2(s)\mathrm{d}s+\int_{t_0}^t\rho_{t_0}^{-1}(s)\sigma_2(s)\mathrm{d}B_s\right]\)

• 一般线性非齐次随机微分方程

先求解以下齐次线性随机微分方程 \(\mathrm{d}X_t=b_1(t) X_t\mathrm{d}t+\sigma_1(t) X_t\mathrm{d}B_t\)

由 Black-Scholes 模型求解结果易得 \(X_t=X_{t_0}\exp\left[\int_{t_0}^t\left(b_1(t)-\frac{1}{2}\sigma_1^2(t)\right)\mathrm{d}t+\int_{t_0}^t\sigma_1(t) \mathrm{d}B_t\right]\)

与前述求解过程类似, 下面仍然使用积分因子的思想求解随机微分方程. 记积分因子 \(\rho_{t_0}(t)=\exp\left[\int_{t_0}^t\left(b_1(t)-\frac{1}{2}\sigma_1^2(t)\right)\mathrm{d}t+\int_{t_0}^t\sigma_1(t) \mathrm{d}B_t\right]\)

则积分因子满足以下 Itô 微分方程 \(\mathrm{d}\rho_{t_0}(t)=b_1(t) \rho_{t_0}(t)\mathrm{d}t+\sigma_1(t) \rho_{t_0}(t)\mathrm{d}B_t\)

令 $f(t,x)=1/x$, 则由 Itô 公式可知 $\rho_{t_0}^{-1}(t)$ 满足以下 Itô 微分方程 \(\begin{aligned} \mathrm{d}\rho_{t_0}^{-1}(t) &=\left[0-\frac{1}{\rho_{t_0}^2(t)}b_1(t) \rho_{t_0}(t)+\frac{1}{2}\frac{2}{\rho_{t_0}^3(t)}\sigma_1^2(t) \rho_{t_0}^2(t)\right]\mathrm{d}t-\frac{1}{\rho_{t_0}^2(t)}\sigma_1(t) \rho_{t_0}(t)\mathrm{d}B_t\\ &=\rho_{t_0}^{-1}(t)[\sigma_1^2(t)-b_1(t)]\mathrm{d}t-\rho_{t_0}^{-1}(t)\sigma_1(t)\mathrm{d}B_t \end{aligned}\)

又 \(\mathrm{d}X_t=[b_1(t) X_t+b_2(t)]\mathrm{d}t+[\sigma_1(t) X_t+\sigma_2(t)]\mathrm{d}B_t\)

令 $g(t,x_1,x_2)=x_1x_2$, 则由二维 Itô 公式可知 \(\begin{aligned} \mathrm{d}[\rho_{t_0}^{-1}(t)X_t] =~&\rho_{t_0}^{-1}(t)\Big\{X_t[\sigma_1^2(t)-b_1(t)]+[b_1(t) X_t+b_2(t)]-\sigma_1(t)[\sigma_1(t) X_t+\sigma_2(t)]\Big\}\mathrm{d}t\\ &+\Big\{X_t[-\rho_{t_0}^{-1}(t)\sigma_1(t)]+\rho_{t_0}^{-1}[\sigma_1(t) X_t+\sigma_2(t)]\Big\}\mathrm{d}B_t\\ =~&\rho_{t_0}^{-1}(t)[b_2(t)-\sigma_1(t)\sigma_2(t)]\mathrm{d}t+\rho_{t_0}^{-1}(t)\sigma_2(t)\mathrm{d}B_t\\ \end{aligned}\)

两边从 $t_0$ 到 $t$ 积分可得 \(\begin{aligned} \rho_{t_0}^{-1}(t)X_t-\rho_{t_0}^{-1}(t_0)X_{t_0} &=\rho_{t_0}^{-1}(t)X_t-X_{t_0}\\ &=\int_{t_0}^t\rho_{t_0}^{-1}(s)[b_2(s)-\sigma_1(s)\sigma_2(s)]\mathrm{d}s+\int_{t_0}^t\rho_{t_0}^{-1}(s)\sigma_2(s)\mathrm{d}B_s\\ \end{aligned}\)

故 \(X_t=\rho_{t_0}(t)\left[X_{t_0}+\int_{t_0}^t\rho_{t_0}^{-1}(s)[b_2(s)-\sigma_1(s)\sigma_2(s)]\mathrm{d}s+\int_{t_0}^t\rho_{t_0}^{-1}(s)\sigma_2(s)\mathrm{d}B_s\right]\)

例题 求解 Itô 微分方程

• 通用公式

设 ${X_t:t\geqslant0}$ 满足 \(\mathrm{d}X_t=[b_1(t) X_t+b_2(t)]\mathrm{d}t+[\sigma_1(t) X_t+\sigma_2(t)]\mathrm{d}B_t\)

则 \(\rho_{t_0}(t)=\exp\left[\int_{t_0}^t\left(b_1(t)-\frac{1}{2}\sigma_1^2(t)\right)\mathrm{d}t+\int_{t_0}^t\sigma_1(t) \mathrm{d}B_t\right]\)

• $\mathrm{d}X_t=-X_t\mathrm{d}t+\mathrm{e}^{-t}\mathrm{d}B_t$

解: 通过观察可知 \(b_1(t)=-1,~b_2(t)=0,~\sigma_1(t)=0,~\sigma_2(t)=\mathrm{e}^{-t}\) 则 \(\rho_{t_0}(t)=\exp\left[\int_{t_0}^t\left(-1-0\right)\mathrm{d}t+\int_{t_0}^t0 \mathrm{d}B_t\right]=\mathrm{e}^{-(t-t_0)}\)

• $\mathrm{d}X_t=\gamma\mathrm{d}t+\alpha X_t\mathrm{d}B_t,~\gamma,\alpha\in\mathbb{R}$

解: 通过观察可知 \(b_1(t)=0,~b_2(t)=\gamma,~\sigma_1(t)=\alpha,~\sigma_2(t)=0\) 则 \(\begin{aligned} \rho_{t_0}(t) &=\exp\left[\int_{t_0}^t\left(0-\frac{1}{2}\alpha^2\right)\mathrm{d}t+\int_{t_0}^t\alpha \mathrm{d}B_t\right]\\ &=\exp\left[-\frac{1}{2}\alpha^2(t-t_0)+\alpha (B_t-B_{t_0})\right]\\ \end{aligned}\)

• $\mathrm{d}X_t=(\mathrm{e}^{-t}+X_t)\mathrm{d}t+\sigma X_t\mathrm{d}B_t$, $\sigma>0$

解: 通过观察可知 \(b_1(t)=1,~b_2(t)=\mathrm{e}^{-t},~\sigma_1(t)=\sigma,~\sigma_2(t)=0\) 则 \(\begin{aligned} \rho_{t_0}(t) &=\exp\left[\int_{t_0}^t\left(1-\frac{1}{2}\sigma^2\right)\mathrm{d}t+\int_{t_0}^t\sigma \mathrm{d}B_t\right]\\ &=\exp\left[\left(1-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(t-t_0)+\sigma (B_t-B_{t_0})\right]\\ \end{aligned}\)

• $\mathrm{d}X_t=f(t)B_t\mathrm{d}t$

解: 布朗运动本身即为 Itô 过程, 有 Itô 微分方程 \(\mathrm{d}B_t=0\times\mathrm{d}t+1\times\mathrm{d}B_t\)

函数 $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续则可积, 令其原函数为 \(F(t)\triangleq\int_0^tf(s)\mathrm{d}s\)

令 $h(t,x)=F(t)x$, 其相应偏导数为 \(\frac{\partial h}{\partial t}=f(t)x,~ \frac{\partial h}{\partial x}=F(t),~ \frac{\partial^2 h}{\partial x^2}=0\)

令 $W_t=F(t)B_t$, 由 Itô 公式可知 \(\begin{aligned} \mathrm{d}W_t &=\left[f(t)B_t+F(t)\cdot0+\frac{1}{2}\cdot0\cdot1^2\right]\mathrm{d}t+[F(t)\cdot1]\mathrm{d}B_t\\ &=f(t)B_t\mathrm{d}t+F(t)\mathrm{d}B_t\\ \end{aligned}\)

注意到 $B_t$ 零初值即 $B_0=0$, 那么上式两边从 $0$ 到 $t$ 积分可得 \(\begin{aligned} W_t-W_0 &=F(t)B_t-0\\ &=\int_0^tf(s)B_s\mathrm{d}s+\int_0^tF(s)\mathrm{d}B_s\\ \end{aligned}\)

故由 Itô 积分的一阶矩和二阶矩性质可知 \(\begin{aligned} X_t &=\int_0^tf(s)B_s\mathrm{d}s\\ &=F(t)B_t-\int_0^tF(s)\mathrm{d}B_s\\ &=\int_0^t[F(t)-F(s)]\mathrm{d}B_s\\ &\sim N\left(0,\int_0^t[F(t)-F(s)]^2\mathrm{d}s\right)\\ \end{aligned}\)

即 $X_t$ 的概率分布是期望为 $0$, 方差为 \(\int_0^t[F(t)-F(s)]^2\mathrm{d}s\) 的正态分布.

• $\mathrm{d}Y_t=f(t)B_t\mathrm{d}B_t$

解: 布朗运动本身即为 Itô 过程, 有 Itô 微分方程 \(\mathrm{d}B_t=0\times\mathrm{d}t+1\times\mathrm{d}B_t\)

令 $g(t,x)=f(t)x^2/2$, 其相应偏导数为 \(\frac{\partial g}{\partial t}=f'(t)\frac{x^2}{2},~ \frac{\partial g}{\partial x}=f(t)x,~ \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}=f(t)\)

令 $Z_t=f(t)B_t^2/2$, 由 Itô 公式可知 \(\begin{aligned} \mathrm{d}Z_t &=\left[f'(t)\frac{B_t^2}{2}+f(t)B_t\cdot0+\frac{1}{2}f(t)\cdot1^2\right]\mathrm{d}t+[f(t)B_t\cdot1]\mathrm{d}B_t\\ &=\frac{1}{2}[f'(t)B_t^2+f(t)]\mathrm{d}t+f(t)B_t\mathrm{d}B_t\\ \end{aligned}\)

注意到 $B_t$ 零初值即 $B_0=0$, 那么上式两边从 $0$ 到 $t$ 积分可得 \(\begin{aligned} Z_t-Z_0 &=\frac{1}{2}f(t)B_t^2-0\\ &=\int_0^t\frac{1}{2}\left[f'(s)B_s^2+f(s)\right]\mathrm{d}s+\int_0^tf(s)B_s\mathrm{d}B_s\\ \end{aligned}\)

故 \(\begin{aligned} Y_t &=\int_0^tf(s)B_s\mathrm{d}B_s\\ &=\frac{1}{2}\left\{f(t)B_t^2-\int_0^t\Big[f(s)+f'(s)B_s^2\Big]\mathrm{d}s\right\}\\ \end{aligned}\)

7.6 解的存在性和唯一性问题

定理 随机微分方程解的存在和唯一性

设对 $\forall~t\geqslant0$, $x,y\in\mathbb{R}$, $K>0$, $b(t,x)$, $\sigma(t,x)$ 满足整体 Lipschitz 条件 \(|b(t,x)-b(t,y)|+|\sigma(t,x)-\sigma(t,y)|\leqslant K|x-y|\)

和线性增长条件 \(|b(t,x)|+|\sigma(t,x)|\leqslant K(1+|x|)\)

$B={B_t,~\mathcal{F}_t^B:t\geqslant0}$ 是 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ 上的布朗运动, $\xi$ 是 $(\Omega,\mathcal{F},P)$ 上的随机变量且与布朗运动独立, $E|\xi|^2 < \infty$, 则随机微分方程 \(\mathrm{d}X_t=b(t,X_t)\mathrm{d}t+\sigma(t,X_t)\mathrm{d}B_t,~X_0=\xi\)

存在唯一强解, 而且 $\exists~C>0$, $C$ 可以依赖于 $(K,T)$, 使得 $\forall~0\leqslant t\leqslant T$, 有 \(E|X_t|^2\leqslant C(1+E|\xi|^2)\mathrm{e}^{Ct}\)

参考文献

• 林元烈. 应用随机过程[M]. 北京: 清华大学出版社, 2002.
• 何声武. 随机过程导论[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999.
• Ross S M. Stochastic Processes[M]. John Wiley and Sons, 1993.